计算线性拟阵 Tutte 多项式的细粒度复杂度

我们证明，在具有 $k^{O(1)}$ 个元素的域上计算维度为 $k$、含 $k^{O(1)}$ 个点的线性拟阵的 Tutte 多项式需要 $k^{\Omega(k)}$ 时间，除非 \#ETH——由 Impagliazzo 和 Paturi [CCC 1999] 提出的指数时间假设的计数扩展，源自 Dell {\em et al.} [ACM TALG 2014]——为假。这同样适用于那些存在一种表示、其中每个点关联于一个至多含两个非零坐标的向量的线性拟阵。我们还证明，对于维度为 $k$、含 $k^{O(1)}$ 个点且每个点的向量中至多三个非零坐标的二元拟阵，计算其 Tutte 多项式也是如此。这与计算 $k$ 顶点图（即维度为 $k$ 的{\em 图}拟阵——可在二元域上以维度 $k$ 表示，使得每个向量有两个非零坐标）的 Tutte 多项式形成鲜明对比，后者已知可在 $2^k k^{O(1)}$ 时间内计算 [Bj\"orklund {\em et al.}, FOCS 2008]。我们的下界证明经由：(i) Crapo 和 Rota [1970] 提出的满支撑码字元组数目与码所关联拟阵的 Tutte 多项式之间的联系；(ii) 先前确立的在 $d^{o(n)}$ 时间内计数二部 $(d,2)$-CSP 在 $n$ 个顶点上解的 \#ETH 困难性；以及 (iii) 此类 CSP 实例作为线性码中满支撑码字问题的新嵌入。我们以两种算法设计补充这些下界。第一种设计在 $k^{O(k)}$ 次运算内计算维度为 $k$、含 $k^{O(1)}$ 个点的线性拟阵的 Tutte 多项式。第二种设计推广了 Bj\"orklund~{\em et al.} 算法，对于由 $k^{O(1)}$ 个每个至多两个非零坐标的点在 $q$ 元域上定义的维度 $k$ 线性拟阵，在 $q^{k+1}k^{O(1)}$ 时间内运行。