Tutte 平面与布尔 #CSP 的细粒度二分性

Jaeger, Vertigan 和 Welsh [15] 证明了在固定点处计算 Tutte 多项式复杂度的二分性：该计算在几乎所有点处都是 #P-hard 的，其余点则存在多项式时间算法。Dell, Husfeldt 和 Wahlén [9] 与 Husfeldt 和 Taslaman [12] 结合 Curticapean [7] 的工作，将 #P-hardness 结果扩展为计数指数时间假设 #ETH 下的紧致下界，但直线 $y=1$ 的情况尚悬而未决。我们通过证明给定 $n$ 顶点图的所有无环子图数量无法在 $exp(o(n))$ 时间内确定（除非 #ETH 不成立），从而补全了 #ETH 下 Tutte 多项式的二分定理。我们强化的另一个二分定理是 Creignou 和 Hermann [6] 关于计算布尔域上约束满足问题实例的满足赋值数量的定理。我们证明所有 #P-hard 情况在 #ETH 下同样是困难的。核心要素是证明具有 $n$ 个顶点的二部图中的独立集数量无法在 $exp(o(n))$ 时间内计算（除非 #ETH 不成立）。为了证明我们的结果，我们使用了 Curticapean [7] 的块插值思想，并将其转化为可能不直接对应插值的线性方程组。