通过Schwinger、Schur和Bessel方法评估一个四次积分

我们提供了评估积分 \begin{eqnarray} N_{0,4}(a;m) & := & \int_{0}^{\infty} \frac{dx} {\left( x^{4} + 2ax^{2} + 1 \right)^{m+1}} \end{eqnarray} 的附加方法，其中 $m \in {\mathbb{N}}$ 且 $a \in (-1, \infty)$，其形式为 \begin{eqnarray} N_{0,4}(a;m) & = & \frac{\pi}{2^{m+3/2} (a+1)^{m+1/2} } P_{m}(a) \end{eqnarray}，这里 $P_{m}(a)$ 是 $a$ 的多项式。第一种方法基于Schwinger评估费曼图中出现的积分的方法，第二种方法是关于Schur函数的有理积分表达式的副产品。最后，第三种证明是通过涉及修正Bessel函数的积分表示得到的。