$\mathbb R^1\oplus\mathbb R^m$ 中的费曼积分与 $_2F_1$ 的复展开

针对费曼积分 $$I_{D, m}(p,q) = \int\frac{d^my}{(2\pi)^m}\int\frac{d^Dx}{(2\pi)^D} \frac1{(x-p/2)^2+(y-q/2)^4} \frac1{(x+p/2)^2+(y+q/2)^4}$$ 在 $d=D+m$ 维空间上、且 $(x,y),\,(p,q)\in \mathbb R^D \oplus \mathbb R^m$ 的特殊情形 $D=1$，提出了闭式表达式。我们证明了 $I_{1,m}(p,q)$ 可用涉及复变量 Gauss 超几何函数 $_2F_1$ 的实部与虚部，以及广义超几何函数 $_2F_2$ 与 $_3F_2$、Horn 函数 $H_4$ 和 Appell 函数 $F_2$ 的不同形式表示。推导了 $_2F_1$ 的实部与虚部同函数 $H_4$ 之间的若干有趣关系。