扩展整数上多项式映射中 4-循环的出现

设 $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$；对于每个整数 $\alpha$，如果可能的话，考虑满足 $f^{n_{\alpha}}(\alpha) = \alpha$ 所需的迭代次数 $n_{\alpha}$ 是很有趣的。由 $f$ 的迭代生成的集合 $\{\alpha, f(\alpha), \ldots, f^{n_{\alpha} - 1}(\alpha), \alpha\}$ 称为循环。对于 $\mathbb{Z}[x]$，已知存在长度为 1 和 2 的循环，且不存在其他长度的循环。尽管对于数域的扩展已有许多了解，我们专注于通过添加素数的倒数来扩展 $\mathbb{Z}$。设 $\mathbb{Z}[1/p_1, \ldots, 1/p_n]$ 表示通过添加 $n$ 个素数 $p_1, \ldots, p_n$ 的倒数及其彼此之间以及与 $\mathbb{Z}$ 中元素的所有乘积和幂来扩展的 $\mathbb{Z}$。有趣的是，在适当条件下，$\mathbb{Z}\left[1/p_1, \ldots, 1/p_n\right][x]$ 中的多项式会出现长度为 4 的循环，即 4-循环。寻找 4-循环出现准则的问题等价于确定四个项之和为零的频率，其中各项为 $\pm 1$ 乘以由 $n$ 个素数列表中元素的乘积。我们研究了 4-循环出现的素数集条件。我们刻画了当素数集包含一个或两个素数时 4-循环出现的条件，并（在假设 ABC 猜想的一种推广的前提下）找到了保证不会导致 4-循环出现的素数集条件。