$(k,n-k)$ 问题常号 Green 函数的特征值刻画

本文致力于研究与依赖于实参数 $M$ 的一般线性 $n^{\rm th}$ 阶算子 $T_n[M]$ 相关的 Green 函数的符号，该算子耦合了 $(k,n-k)$ 边值条件。若算子 $T_n[\bar M]$ 对给定的 $\bar M$ 是非共轭的，我们描述了实参数 $M$ 的取值区间，使得 Green 函数具有常号。该区间的一个端点由满足 $(k,n-k)$ 条件的算子 $T_n[\bar M]$ 的第一特征值给出。另一个端点与 $(k-1,n-k+1)$ 和 $(k+1,n-k-1)$ 问题的第一特征值的最小（最大）值相关。此外，若 $n-k$ 为偶数（奇数），则 Green 函数不能为非正（非负）。为了说明所得结果的适用性，我们计算了特定算子的常号 Green 函数的参数区间。我们的方法避免了计算 Green 函数表达式的必要性。最后，我们展示了一个特定方程，表明对于给定 $\bar M$，算子 $T_n[\bar M]$ 的非共轭性假设不能被消除。