δ分布势对箱中量子力学粒子的影响

我们研究置于 $x_0\geq 0$ 处并乘以参数 $\alpha$ 的 $\delta$ 分布势对区间 $\left[-\,\frac{L}{2},\frac{L}{2}\right]$ 上无限深方势阱中量子力学粒子的影响。我们得到定态薛定谔方程本征函数在 $\alpha\nearrow+\infty$ 与 $\alpha\searrow-\infty$ 时的极限。我们考察对应于 $\alpha=0$ 的薛定谔方程各解随 $\alpha$ 取遍实线时的变化。当 $x_0$ 为 $L$ 的有理倍数时，存在在 $x_0$ 处为零且不受 $\alpha$ 取值影响的薛定谔方程解。我们证明其中每一个解的能量均与取 $|\alpha|\to\infty$ 所得某一极限本征函数的能量重合。波函数等于该极限本征函数的粒子其位置期望值为 $x_0$。