秩极大匹配与受欢迎匹配的动态

给定一个二部图，其中两组顶点分别为申请者和职位，边上的秩表示申请者对职位的偏好。{\em 秩极大}匹配是指使得尽可能多的申请者匹配到其第一志愿职位，并在该条件下，使得尽可能多的申请者匹配到其第二志愿职位，以此类推的匹配。我们研究了该问题的动态版本，即图中可能会加入新的申请者或职位，而我们希望维持一个秩极大匹配。我们证明，在一个顶点到达后，我们总是能够在 $\mathcal{O}(\min(c'n ,n^2) + m)$ 时间内更新现有的秩极大匹配，其中 $n$ 表示申请者数量，$m$ 表示边数，$c'$ 表示最优解中边的最大秩。此外，我们使用最少数量的更改（替换）来更新匹配。顶点/边删除和边添加的所有情况都可以归约为处理顶点添加的问题。作为副产品，我们还得到了（单边）受欢迎匹配问题动态版本的一个类似的 $\mathcal{O}(m)$ 结果。我们的结果基于对 Edmonds-Gallai 分解性质的新颖运用。所提出的思路可能适用于其他（动态）匹配问题。