索伯列夫空间中的 Dubovitskii-Sard 定理

1942 年的 Sard 定理要求映射 $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 属于 $C^k$ 类，$k > \max (n-m,0)$。1957 年 Duvovitskii 将 Sard 定理推广到所有 $k$ 的 $C^k$ 映射情形。具体而言，他证明了对于几乎所有 $y\in \mathbb{R}^m$，有 $\mathcal{H}^{\ell}(C_f \cap f^{-1}(y))=0$，其中 $\ell = \max(n-m-k+1,0)$，${\mathcal H}^{\ell}$ 表示 Hausdorff 测度，$C_f$ 是 $f$ 的临界点集。2001 年 De Pascale 证明了 Sard 定理对 $W_{\rm loc}^{k,p}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ 类的 Sobolev 映射成立，其中 $k>\max(n-m,0)$ 且 $p>n$。我们将证明 Dubovitskii 定理也可推广到所有 $k\in\mathbb{N}$ 且 $p>n$ 的 $W_{\rm loc}^{k,p}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ 映射情形。