高斯函数的离散类比

本文阐明了在整数格 $\mathbb{Z}$ 上的热核作为高斯密度函数离散类比的实用性。这一二维函数 $K_{\mathbb{Z}}(t,x)=e^{-2t}I_{x}(2t)$ 包含一个贝塞尔函数，变量 $x\in\mathbb{Z}$ 和实数 $t\geq 0$。就其经典对应物而言，它出现在众多数学和物理情境中，并且具有广泛的应用前景。本文将审述其中的一些应用，涉及贝塞尔积分、三角级数、超几何函数以及离散模型的渐近分析，这些模型在统计物理和量子物理中出现。此外，我们证明了关于整数值随机变量之和的新型局部极限定理，获得了贝塞尔晶体谱zeta函数的新型特殊值，并提供了关于 $e^{-2t}I_{x}(2t)$ 在差分隐私中的实用性的讨论。