狄拉克δ函数作为二维薛定谔方程的奇异势

在分布广义量子理论框架下，对象 $H\psi$ 被定义为一个分布。其数学意义是对拟微分和伪微分算子理论（以及弱特征值问题）的一种温和推广，其中 $\psi$-do 符号（在这种广义情况下不是真正的线性算子）的系数函数可以取奇异分布值。此处，若一个分布不属于任何 $p\geq 1$ 的 L$^p(\mathbb{R}^d)$ 空间，则称其为奇异的。在物理上，其意义在于提供了一种数学上严格的方法，该方法不依赖任何形式的重整化或正则化，同时产生的束缚态能量结果与文献一致。此外，另一个好处是该方法不依赖拉普拉斯算子的自伴延拓。当该理论应用于非薛定谔系统（如狄拉克方程的情况）时，这一点至关重要，也是任何有限严格版本量子场论的必要属性。分布解释解决了在波函数未定义的点处评估波函数的需求。对于 $d=2$，这种情况表现为 $K_o(a|x|)\delta(x)$，其中 $K_o$ 是零阶 Macdonald 函数。最后，由于形式符号哈密顿量的尺度不变性，以及对数函数的常见恒等式（其中 $a,\,b\in\mathbb{R}^+$，$\log(ab)=\log(a)+\log(b)$，其参数失去了无量纲性），我们还识别出了一个缺失的反常长度尺度。因此，能量或点谱被推广为一个族（由连续统索引的集合）的潜在谱值，称为 C-谱。