DFS融合Lasso：通用图上的线性时间去噪

融合Lasso，也称为（各向异性）全变分去噪，广泛用于针对给定无向图的分段常数信号估计。当底层图规模大且具有任意结构时，融合Lasso估计的计算极为困难。但对于一种特殊图结构，即链图，融合Lasso——或简称为一维融合Lasso——可在线性时间内计算。本文中，我们建立了定义在任意图上的通用信号的全变分与该信号在通过对图节点运行深度优先搜索（DFS）所诱导的链图上的全变分之间的一个令人惊讶的联系。具体而言，我们证明对于任意信号，其在诱导链图上的全变分不超过其在原图上全变分的两倍。这一联系导致了若干有趣的理论与计算结论。记所涉图的边数和节点数分别为 $m$ 和 $n$，我们的结果表明，对于图上全变分为 $t$ 的底层信号，融合Lasso达到 \smash{$t^{2/3} n^{-2/3}$} 的均方误差率。此外，在运行DFS所得的诱导链图上运行一维融合Lasso可达到完全相同的均方误差率。重要的是，后一估计子简单且计算代价低，仅需 $O(m)$ 次操作来构造DFS诱导链，以及 $O(n)$ 次操作来计算该链上的一维融合Lasso解。进一步，对于具有有界最大度的树，\smash{$t^{2/3} n^{-2/3}$} 的误差率无法被改进，因为它是树上全变分为 $t$ 的信号的极小极大率。