增量 DFS 算法：理论与实验研究

深度优先搜索（DFS）树是解决图问题的基本数据结构。具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图 $G$ 的 DFS 树可以在 $O(m+n)$ 时间内构建。迄今为止，仅为维护增量 DFS 设计了少数几种算法。对于无向图，两种算法即 ADFS1 和 ADFS2 [ICALP14] 分别达到总计 $O(n^{3/2}\sqrt{m})$ 和 $O(n^2)$ 的时间。对于有向无环图（DAGs），唯一非平凡的算法即 FDFS [IPL97] 需要总计 $O(mn)$ 时间。在本文中，我们对现有增量 DFS 算法在随机图和真实图中进行了广泛的实验与理论评估，并得出如下结果。1- 对于均匀随机序列的 $n \choose 2$ 条边的插入，ADFS1、ADFS2 和 FDFS 表现同样良好，实验发现耗时 $\Theta(n^2)$。这相当令人惊讶，因为 ADFS1 和 FDFS 的最坏情况界分别比 $\Theta(n^2)$ 高出 $\sqrt{m/n}$ 和 $m/n$ 的因子。我们通过这些算法的概率分析补充了该结果，证明了更新时间的 $\tilde{O}(n^2)$ 界。在此，我们推导了关于随机图中 DFS 树结构的结果，其本身具有独立意义。2- 这些见解促使我们设计了一种极其简单的适用于无向图和 directed graphs（有向图）的增量 DFS 算法。该算法在理论上匹配并在实验中优于稠密随机图中的最先进水平。它也可用作随机图中增量 DFS 和强连通性的单遍半流式算法。3- 即使在真实图中，ADFS1 和 FDFS 的表现也远优于其理论界。在此我们再次提出两种用于有向和 undirected real graphs（无向真实图）增量 DFS 的简单算法。事实上，我们的有向图算法几乎总是与 FDFS 的性能相匹配。