$k$子集平面点集相对直角的偏差

1970年代，Erd\H{o}s和Silverman提出一个问题：求最小整数 $r(k)$，使得任意包含 $n \ge r(k)$ 个平面点集中存在某个 $k$ 子集，其无直角。$k=4$ 的情况在已知界限之间存在一个有趣的空隙，即 $8 \le r(4) \le 10$。在此基础上，我们考虑一种松弛量化直角偏差的方法。具体而言，我们研究 $\Gamma_k(n)$，即满足任意 $n$ 个平面点集中存在某个 $k$ 子集，其所有角度均位于区间 $90^\circ \pm \gamma$ 之外的最大角度 $\gamma$。我们展示 $4^\circ \le \Gamma_4(10) \le 9.292^\circ$。对于较大的 $n$，$\Gamma_3(n)$ 与Blumenthal、Erd\H{o}s和Szekeres最早开展的经典最小角问题密切相关。我们给出一般 $k$ 值及大 $n$ 情况下的 $\Gamma_k(n)$ 的界限。