初步 F 检验后回归中置信区间的覆盖概率

考虑一个具有回归参数 beta=(beta_1,..., beta_p) 和独立正态误差的线性回归模型。假设感兴趣的参数是 theta = a^T beta，其中 a 是给定的。定义 s 维参数向量 tau = C^T beta - t，其中 C 和 t 是给定的。假设我们对原假设 H_0: tau = 0 进行初步 F 检验，备择假设为 H_1: tau 不等于 0。常见的统计实践是，然后基于所选模型是先验给定的（作为真实模型）这一假设，使用相同数据构建名义覆盖概率为 1-alpha 的 theta 置信区间。我们称其为 theta 的朴素 1-alpha 置信区间。这一假设是错误的，可能导致该置信区间的最小覆盖概率远低于 1-alpha，使其完全不可用。我们的目标是计算这个最小覆盖概率。直接找到该置信区间覆盖概率的表达式是一个 s+1 维的多重积分。然而，我们推导了一个新的、优雅且计算方便的覆盖概率公式。对于 s=2，该公式是一个三重积分和一个二重积分之和；对于所有 s>2，该公式是一个四重积分和一个二重积分之和。这使得无论 s 多大，都可以轻松计算朴素置信区间的最小覆盖概率。该公式的一个非常重要的实际应用是协方差分析。在此背景下，tau 的定义使得 H_0 表达了“平行性”假设。应用统计学家通常建议对该假设进行初步 F 检验。我们用一个真实的协方差分析数据集和针对“平行性”的初步 F 检验来说明我们公式的应用。我们表明，朴素 0.95 置信区间的最小覆盖概率为 0.0846，表明它完全不可用。