PQ硬币翻转博弈与二面体群之间的联系

本文受PQ硬币翻转博弈启发，运用群论概念研究原博弈及其可能的扩展。我们表明PQ硬币翻转博弈可与二面体群$D_{8}$相关联。我们证明在$D_{8}$中恰好存在两类Q的获胜策略。我们确定恰好存在两种不同的状态序列能够以概率$1.0$保证Q获胜。我们还表明该博弈可在所有二面体群$D_{8 n}$（$n \geq 1$）中进行，而无需任何显著改变。我们考察了当Q可从整个$U(2)$中抽取其行动时的情况，并得出结论：同样恰好存在两类Q的获胜策略，每类现在包含无限多个等价策略，但它们都使硬币经过与之前相同的状态序列。最后，我们考虑博弈的一般扩展，其中量子玩家可使用$U(2)$。我们证明，为使Q必定战胜Picard，他必须既走第一步也走最后一步。