寻找公平多对一匹配的复杂性

我们分析了二部多对一匹配“公平”变体的（参数化）计算复杂性，其中“左”侧每个顶点恰好匹配到一个顶点，而“右”侧每个顶点可匹配到多个顶点。我们希望找到一种“公平”匹配，其中右侧每个顶点都匹配到一个“公平”的顶点集合。假设左侧每个顶点具有一种刻画其属性的颜色，我们研究两种公平性准则。其中一种将顶点集视为公平，当且仅当任意两种颜色出现次数之差不超过给定阈值。公平性在寻找学生与大学、选民与选区、申请者与公司之间的多对一匹配时是相关的。此处颜色可分别刻画社会人口属性、党派归属与资格。我们证明即便仅有三种颜色且最大度为五，寻找公平多对一匹配也是 NP-难的。我们的主要贡献是设计了关于右侧顶点数的固定参数可解算法。我们的算法运用了包括颜色编码在内的多种技术。其核心是编码类 Hall 条件的整数线性规划。为确立整数规划的正确性，我们证明了一个新的分离结果，其受 Frank 分离定理 [Frank, Discrete Math. 1982] 启发，也可能具有独立意义。我们进一步就颜色数与每侧最大度获得了完整的复杂性二分法。