支撑不可满足 2-CNF 的极小简单图之完全集
组合数学
2019-03-19 v2 离散数学
逻辑
摘要
合取范式下子句长度均为二（即 2-CNF）的命题逻辑句子可关联到一个多重图，其中顶点对应变量，边对应子句。我们首先证明，每一个此类已归约的句子（即在某些重言式应用下保持不变的句子）都等价于一个 2-CNF，其关联多重图实际上是一个简单图。我们的主要结果是对可支撑不可满足 2-CNF 句子的图给出完全刻画。我们证明，一个简单图能够支撑一个不可满足的归约 2-CNF 句子，当且仅当它包含四个特定小图中任一个作为拓扑子式。等价地，给定简单图上支撑的所有归约 2-CNF 句子均可满足，当且仅当那些四个图的所有细分均被禁止作为原图的子图。最后我们讨论了 Robertson-Seymour 图子式定理为何不适用于我们的方法。
引用
@article{arxiv.1812.10849,
title = {The complete set of minimal simple graphs that support unsatisfiable 2-CNFs},
author = {Vaibhav Karve and Anil N. Hirani},
journal= {arXiv preprint arXiv:1812.10849},
year = {2019}
}
备注
Corrected error in Theorem 5 of previous version (Theorem 7 in this version). One direction of the result was incorrect. As a result, one more graph was included in the main result, Theorem 18 of previous version (Theorem 20 in this version)