先知秘书问题的竞争复杂度

我们通过资源增广的视角研究经典的单次选择先知秘书问题。我们的目标是为不同类别的在线算法界定 $(1-\epsilon)$-竞争复杂度。该指标要求找到最小的 $k$，使得在线算法在原始实例的 $k$ 个副本上的期望值，至少是原始实例（无额外副本）离线最优期望值的 $(1 - \epsilon)$-近似。我们考虑四类自然的在线算法：单阈值算法、基于时间的阈值算法、基于激活的算法和通用算法。我们证明，对于单阈值算法，$(1-\epsilon)$-竞争复杂度为 $\Theta(\ln(\frac{1}{\epsilon}))$（与独立同分布情况相同）。此外，我们证明基于时间的阈值算法和基于激活的算法（涵盖了先前所有为经典先知秘书问题获得竞争比的方法）产生的 $(1-\epsilon)$-竞争复杂度为次优的 $\Theta\left(\frac{\ln(\frac{1}{\epsilon})}{\ln\ln(\frac{1}{\epsilon})}\right)$，这严格优于单阈值算法类。最后，我们发现通用自适应算法的 $(1-\epsilon)$-竞争复杂度为 $\Theta(\sqrt{\ln(\frac{1}{\epsilon})})$，这与独立同分布情况下的 $\Theta(\ln\ln(\frac{1}{\epsilon}))$ 形成鲜明对比。