先知不等式：与最优前 $\ell$ 项竞争是容易的

我们探讨了一个先知不等式问题，其中一系列物品的价值独立同分布地取自某个分布，在线决策者必须不可撤销地选择一个物品。我们证明了 $\mathrm{CR}_{\ell}$，即在线决策者的期望最优性能与使用前 $\ell$ 项平均值的先知相比的最坏情况竞争比，恰好是一个积分方程的解。这个量 $\mathrm{CR}_{\ell}$ 大于 $1-e^{-\ell}$。这意味着该界限随着 $\ell$ 的增长以指数速度收敛到 $1$。特别是对于 $\ell=2$，$\mathrm{CR}_{2} \approx 0.966$，这比 $\ell=1$ 时的经典界限 $0.745$ 更接近 $1$。此外，我们证明了决策者被允许选择 $k$ 个物品的更一般场景的渐近下界。这涵盖了 $k$ 单位独立同分布先知问题，并提供了当前最佳的渐近保证，同时促进了对更一般框架的更深入理解。最后，我们证明了仅允许静态阈值策略时的紧渐近竞争比。