局部搜索的通信复杂度

我们研究局部搜索的如下通信变体。存在某个固定的、双方已知的图 $G$。Alice 持有 $f_A$ 而 Bob 持有 $f_B$，二者均为给每个顶点指定一个值的函数。目标是找到 $f_A+f_B$ 关于 $G$ 的局部极大值，即一个顶点 $v$，使得对 $v$ 的每个邻居 $u$ 都有 $(f_A+f_B)(v)\geq (f_A+f_B)(u)$。我们的主要结果是：找到一个局部极大值需要多项式（关于顶点数）比特的通信。该结果对以下图族成立：三维网格、超立方体、奇图与度 4 图。此外，我们对超立方体以及常维 greed 给出了 $\Omega(\sqrt{N})$ 的\emph{最优}通信下界，其中 $N$ 为图中顶点数。我们在两个领域给出主要结果的应用：精确势博弈与组合拍卖。首先，我们表明在 $2$ 玩家 $N$ 行动精确势博弈中寻找纯纳什均衡需要多项式（关于 $N$）通信。我们还表明在 $n$ 玩家 $2$ 行动精确势博弈中寻找纯纳什均衡需要指数（关于 $n$）通信。我们考虑的第二个领域是组合拍卖，其中我们证明即使在估值次模时，在组合拍卖中寻找局部极大值也需要指数（关于物品数）通信。上述每个结果都展示了一个全搜索问题的非确定性通信复杂度与随机通信复杂度之间的指数分离。