偶极梯度弹性理论中的 Boussinesq 问题

在线性偶极梯度弹性理论框架内，研究了各向同性半空间受集中法向准静态载荷作用的三维轴对称 Boussinesq 问题。我们主要关注的是，当采用更精细的理论来处理该问题时，可能出现的与经典线性弹性静力学预测的偏差。特别重要的是新解在载荷施加点附近的行为，而在经典解中该处存在病态奇异性。此处使用梯度弹性理论旨在以经典理论无法实现的方式模拟具有微观结构材料的响应。该理论的线性版本是通过考虑应变能密度的线性各向同性表达式而得出的，该表达式除了经典弹性中出现的标准应变项外，还依赖于应变梯度项。通过这种公式化，除了标准的 Lam\'e 常数外，还引入了一个微观结构材料常数。求解方法基于积分变换且是精确的。目前的结果显示出与经典弹性预测的显著偏离。事实上，预测在集中载荷施加点处的位移是连续且有界的。当然，位移场的这种行为比经典解中表现出的奇异行为更自然。