边界 Yamabe 问题, II: 一般常平均曲率情形

本文利用迭代格式与扰动方法彻底解决了 Han-Li 猜想,即在具有非空光滑边界、维数 $\dim M \geqslant 3$ 的紧流形 $(M, \partial M, g)$ 上带有指定常数量曲率与常平均曲率的广义边界 Yamabe 问题。这等价于证明在 $M$ 内存在实值、正的光滑解 $-\frac{4(n -1)}{n - 2} \Delta_{g} u + R_{g} u = \lambda u^{\frac{n+2}{n - 2}}$,且在 $\partial M$ 上满足 $\frac{\partial u}{\partial \nu} + \frac{n-2}{2} h_{g} u = \frac{n-2}{2} \zeta u^{\frac{n}{n - 2}}$,其中某些常数 $\lambda, \zeta \in \mathbb{R}$。该边界 Yamabe 问题根据带有齐次 Robin 条件的共形 Laplacian 的第一特征值 $\eta_{1}$ 的符号分情形求解。数量曲率 $R_{g}$ 与平均曲率 $h_{g}$ 的符号在此存在性结果中起重要作用。与经典方法相反,Weyl 张量与边界点分类在证明中不起作用。此外,该方法不依赖于特定维数。关键步骤包括非线性椭圆 PDE 与非线性边界条件的单调迭代格式新版本、扰动共形 Laplacian 的引入、构造光滑上解的精细粘合技巧,以及局部 Yamabe 型方程解的存在性。