有限抽象单纯复形的平均单形基数

我们研究有限抽象单纯复形 G 的平均单形基数 Dim^+(G) = sum_x |x|/(|G|+1)。该泛函是从单纯复形幺半群到有理数的同态：对于联接 +，公式 Dim^+(G + H) = Dim^+(G) + Dim^+(H) 成立，类似于增广归纳维数 dim^+(G) = dim(G)+1，其中 dim 为归纳维数 dim(G) = 1+ sum_x dim(S(x))/|G|，单位球为 S(x)（Betre 与 Salinger 近期定理）。就由 G 的 f-向量 (v_0,v_1, \dots) 定义的生成函数 f(t) = 1+v_0 t + v_1 t^2 + ... +v_d t^(d+1) 而言，其中 f(-1) 为亏格 1-X(G)（X 为欧拉示性数），f(1)=|G|+1 为增广单形数，平均基数为 f 在 1 处的对数导数 Dim^+(f) = f'(1)/f(1)。除引入平均基数并建立其与算术的相容性外，我们证明两个结果：1) 不等式 dim^+(G)/2 <= Dim^+(G)，对完全复形取等号。2) 当 n 趋于无穷时 Dim^+(G_n) 的极限 C_d 对任意极大维数为 d 的初始复形 G_0 均相同，且常数 c_d 由普适重心加细算子的 Perron-Frobenius 特征函数显式给出，对于正 d 总是开区间 ((d+1)/2,d+1) 内的有理数。