素数次数纯域的平均系数数

设 $\ell\geq 5$ 为素数。设 $\mathcal{F}_\ell$ 为次数为 $\ell$ 的纯数域 $\mathbb{Q}(\sqrt[\ell]{a})$（即同构类）的集合，按其判别式绝对值的大小进行排序。2018年，Benli 对 $\mathcal{F}_\ell$ 进行计数，推广了当 $\ell=3$ 时 Cohen 和 Morra 之前的定理。我们证明，系数数为1的纯域次数为 $\ell$ 的比例渐近于 $(A_\ell \log X)^{-1}$，而纯域次数为 $\ell$ 的平均系数数渐近于 $B_\ell(\log X)^{\ell-1}$。其中 $A_\ell$ 和 $B_\ell$ 均以素数的乘积形式明确给出。