有限域上矩阵化简的渐近复杂度

考虑某个域上的可逆$n \times n$矩阵。高斯-若尔当消元法最多使用$n^2$次行运算将该矩阵化为单位矩阵，并且通常可能需要那么多运算。在[1]中，作者考虑了$GL(n;q)$中的矩阵，即$q$元有限域上的$n \times n$可逆矩阵集，并给出了一种仅使用行运算的算法，其性能渐近优于高斯-若尔当消元法。具体来说，他们的“条纹消元算法”具有渐近复杂度$\frac{n^2}{\log_q{n}}$。此外，他们证明了该算法在常数因子内是最优的，因为$GL(n;q)$中几乎所有矩阵渐近至少需要$\frac{n^2}{2\log_q{n}}$次运算。在这篇短文中，我们通过证明$GL(n;q)$中几乎所有矩阵渐近至少需要$\frac{n^2}{\log_q{n}}$次运算，表明“条纹消元算法”是渐近最优的。