概率自动机的阿加福诺夫与施奈尔-史密斯定理
形式语言与自动机理论
2025-02-19 v1 信息论
math.IT
摘要
对于固定字母表 A，无穷序列 X 若满足每个单词 w 出现的频率与其他相同长度单词一致，则称为正规序列。阿加福诺夫 (1966) 的经典结果将正规性与有限自动机联系起来：当且仅当由有限自动机选择的任何子序列本身也是正规的，序列 X 才是正规的。施奈尔-史密斯 (1972) 的另一个定理给出另一种表述：当且仅当没有博弈者能通过 betting on the sequence X using a strategy that can be described by a finite automaton 来获取大量资金，序列 X 才是正规的。这两个定理都在确定性有限自动机的语境下建立。这引出了一个问题：它们能否推广到概率有限自动机的语境？在阿加福诺夫定理的情况下，这一问题由 L échine 等人 (2024) 在概率自动机具有有理转移概率的受限情况下肯定回答了。在本文中，我们解决了完整的猜想，证明了任意概率自动机上的阿加福诺夫定理和施奈尔-史密斯定理都成立。具体而言，我们证明序列 X 正规当且仅当概率自动机以概率 1 选择正规子序列。我们还证明序列 X 正规当且仅当概率有限状态博弈者在 X 上以概率 1 失败获利。
引用
@article{arxiv.2502.12307,
title = {The Agafonov and Schnorr-Stimm theorems for probabilistic automata},
author = {Laurent Bienvenu and Hugo Gimbert and Subin Pulari},
journal= {arXiv preprint arXiv:2502.12307},
year = {2025}
}