$S(2, 4, v)$ 设计的 3-路相交问题

本文研究了 $S(2,4,v)$ 设计的 3-路相交问题。设 $b_{v}=\frac {v(v-1)}{12}$ 且 $I_{3}[v]=\{0,1,...,b_{v}\}\setminus\{b_{v}-7,b_{v}-6,b_{v}-5,b_{v}-4,b_{v}-3,b_{v}-2,b_{v}-1\}$。设 $J_{3}[v]=\{k|$ 存在三个具有 $k$ 个相同公共区组的 $S(2,4,v)$ 设计$\}$。我们证明，对于任意正整数 $v\equiv1, 4\ (\rm mod \ 12)$，有 $J_{3}[v]\subseteq I_{3}[v]$，并且当 $v\geq49$ 及 $v=13$ 时，$J_{3}[v]=I_{3}[v]$。我们完全求出了 $J_{3}[16]$。此外，我们还确定了 $\ v=25,28,37$ 和 40 时 $J_{3}[v]$ 的一些值。