四阶商环的$\tau_I$-弹性

对于具有非零单位元的交换整环$R$及$R$的理想$I$，若$a=\lambda b_1 \cdots b_k$满足$\lambda \in R$为单位且对所有$1\leq i \leq j \leq k$有$b_i \equiv b_j$(mod $I$)，则称其为$a$的一个$\tau_I$-因式分解。这些因式分解非唯一，且同一元素的两个因式分解可能具有不同长度。本文中，我们确定了最小的商环$R/I$，其中$R$为唯一因式分解整环，$I\subset R$为理想，且$R$含有一个具有不同长度原子$\tau_I$-因式分解的元素。事实上，对于$R=\mathbb{Z}[x]$与$I = (2,x^2+x)$，可找到一列元素$a_i$，其对$i\in\mathbb{N}$具有长度为2与长度为$i$的原子$\tau_I$-因式分解。