Tarski 定理、超模博弈与均衡的复杂性

在经济学中，利用单调性与 Tarski 定理证明均衡存在极为广泛，而 Tarski 定理也常用于验证领域中类似目的。然而，对于寻找该结果所保证的不动点与均衡的复杂性分析却相对较少。我们研究基于 $d$ 维网格（边长为 $N$）上单调函数及其不动点的计算形式，以及与之紧密相关的超模博弈及其均衡。已知寻找单调函数的某个（任意）不动点可在 $\log^d N$ 时间内完成，我们证明即使在二维网格上，对随机化算法也至少需要 $\log^2 N$ 次函数求值。我们证明，当单调函数以简洁方式（通过布尔电路）给出时，寻找某个不动点的一般 Tarski 问题属于局部搜索可解问题类 PLS，并且相当令人惊讶地，也属于 PPAD 类。然而，寻找 Tarski 定理所保证的最大或最小不动点需要 $d\cdot N$ 步，且在白盒模型下是 NP 难的。对于超模博弈，我们证明在此类博弈中寻找均衡本质上与 Tarski 问题计算等价，而寻找最大或最小均衡同样更困难。有趣的是，一方策略空间为一维的两人超模博弈可在 $O(\log N)$ 步内求解。我们还观察到，计算（近似）Condon（Shapley）随机博弈的值可归约为 Tarski 问题。本工作凸显的一个重要开放问题是证明对小固定维数 $d \geq 3$ 的 $\Omega(\log^d N)$ 下界。