基于带权字对 Schmidt 型分拆的系统研究

设 $S=(s_n)_{n\geq 1}$ 为交换幺半群 $(\mathcal{M},+,0)$ 中元素构成的序列。在本文中，我们对 $$\sum_{\la} C(\la) q^{\sum_{n\geq 1} \la_n\cdot s_n}$$ 给出显式公式，其中 $\la=(\la_1,\ldots)$ 取遍超分拆的某些子集，$C(\la)$ 是赋予 $\la$ 各部分某种“颜色”的乘积，且对 $s\in M$，$q^s$ 为 $q$ 的形式幂。该公式不仅使我们能重新得到若干已知的 Schmidt 型定理，还能给出针对非周期序列 $S$ 的新 Schmidt 型定理。例如，当 $(M,+,0)=(\mathbb{Z}_{\geq 0},+,0)$，且若存在 $i\geq 1$ 使得 $n=\{i(i-1)/2+1\}$ 时 $s_n=1$，否则 $s_n=0$，我们得到如下结论：对所有非负整数 $m$，满足 $\sum_{i\geq 1}\la_{i(i-1)/2+1} =m$ 的分拆个数等于 $m$ 的平面分拆个数。此外，我们引入一类新的分拆——块分拆，推广了 $k$-伸长分拆。由该类分拆，我们给出了 Andrews 与 Paule 关于 $k$-伸长分拆的 Schmidt 型定理的推广，并建立了其与欧拉多项式的联系。