Huygens 钟的同步与 Poincaré 方法

我们研究了两个耦合摆钟振荡同步的模型，这一现象最初由 Huygens 观察到。假设摆角很小，因此将摆建模为谐振子，将钟表擒纵机构建模为 van der Pol 项。将摆锤与其外壳的质量比作为小参数。利用 Poincaré 关于自治拟线性系统周期解存在性的定理，导出了同步机制存在性与稳定性的解析条件，以及其稳定振幅与周期修正的解析表达式。反相同步机制始终存在，且在系统参数变化下保持稳定。同相同步机制可能存在且稳定，可能存在但不稳定，或者根本不存在，具体取决于参数取值。随着连接钟表的框架中的阻尼增加，同相的稳定振幅和周期逐渐减小，直到该机制首先失稳，随后消失。对于传统的三自由度模型，结果最为完备，其中钟表外壳和框架被合并为一个单一质量。