Legendre动力学的符号绪表表示

现代学习系统作用于数据内部表示，但这些表示如何编码底层物理或统计结构往往被忽略。在物理学中，哈密顿系统的守恒定律如符号性保证了长期稳定性，最近的工作开始在损失或输出层面将此类约束硬编码到学习模型中。我们提出了一个不同的问题：表示本身在哈密顿意义上是否遵循符号守恒律？我们通过Legendre二偶性表达这种符号约束： primal 和 dual 参数之间的配对，成为表示必须保持的结构。我们将Legendre动力学 formalized 为轨迹保持在Legendre图上的随机过程，以便演化后的 primal- dual 参数保持Legendre二偶。我们指出，这一类包括线性时不变高斯过程回归和Ornstein-Uhlenbeck动力学。从几何学上，我们证明，保持所有Legendre图的映射恰好是cotangent束的符号同构，形式为"在基底diffeomorphism上进行cotangent提升，后跟一个exact纤维平移"。从动态角度看，这一表征导致设计一种符号绪表(Symplectic Reservoir, SR)，这是一种 reservoir 计算机架构，是一种特殊的循环神经网络，其循环核心由最多线性于动量的哈密顿系统生成。我们的主要定理表明，每个SR更新都具有这种标准形，从而将Legendre图运输到Legendre图，在每个时间步骤中保持Legendre二偶。总体而言，SR实现了一个在几何上受约束的、保持Legendre二偶的表示映射，在表示层面直接注入符号几何和哈密顿力学。