平面上的辛丛、割簇与 Lüroth 四次曲线重探

设 $X={\bf P}^2\times{\bf P}^{n-1}$ 以 $\O(1,2)$ 嵌入。我们证明它的 $(n+1)$-割簇 $\sigma_{n+1}(X)$ 是一个超曲面,而人们预期它会充满环境空间。$\sigma_{n+1}(X)$ 的方程是 Strassen 方程的对偶类似物。当 $n=4$ 时,行列式映射将 $\sigma_5(X)$ 送到 Lüroth 四次曲线的超曲面,后者是 LePotier 与 Tikhomirov 所研究的 Barth 映射的像。这一提示使得能够利用 $X$ 的高割簇得到关于 ${\bf P}^2$ 上辛丛的跳跃直线与 Brill-Noether 轨迹的一些结果。