多体波函数的对称性与自相似性

本博士论文致力于研究量子态的对称性与其自相似性质之间的相互作用。论文包含三个相互关联的研究主线：多光子态的多项式不变量、量子多体系统的可视化方案以及基于复杂网络方法的图上量子游走。首先，我们研究了哪些多光子态在被动线性光学作用下是等价的。我们证明该问题可以转化为两个置换对称态的等价性问题，且不必局限于对所有粒子施加相同的操作。我们表明该问题可以表述为多变量复多项式的对称性问题，并提供了两类易于计算且能给出解析结果的不变量族。其次，我们研究了一类用于多粒子系统的递归可视化方案，我们将其命名为'qubism'。虽然所有多夸比特态都可以用 qubism 绘制，但它对于自旋链和一维平移不变态尤为有用。这种对称性导致绘图的自相似性，使其更易于理解并有助于发现某些结构。第三，我们研究了单个粒子在图上的量子游走，这是随机游走的经典类比。我们的重点是概率分布的长时间极限，并研究了密度矩阵的非对角元（特别是在长时间极限下）的行为。我们利用它们进行量子社区检测——将图划分为子图，使得子图间的相干性很小。我们的方法捕捉到了经典方法无法捕捉的特性——相长干涉和相消干涉的影响，以及结果对隧穿相位的依赖性。