一维噪声的对称分裂

跳跃具有扩散律的对称随机游走 $X$，在独立几何随机时间处观察时，在最小值处分裂为两个独立同分布的片段。最大值处同理。自然的问题是，是否存在其他适应于 $X$ 的时间也表现出这种"对称分裂"？这一现象似乎最方便地用 $X$ 的噪声结构来描述。在后者的普遍层面上，给出了对称分裂性质的等价集合论条件，从而得出上述问题的答案是肯定的。虽然我们未深入讨论该现象在连续时间中的明显类似物，但离散结果引出了一个问题：线性布朗运动是否存在除最大值和最小值之外的对称分裂时刻？这一问题尚未解决，但我们确实就为何该问题可能非平凡/有趣发表了一些评论。