从测量数据中符号恢复偏微分方程

基于偏微分方程(PDE)的模型能够描述自然科学中广泛的复杂现象。准确识别代表潜在物理规律的PDE模型对于正确理解问题至关重要。这种重construction通常依赖于系统状态的间接且噪声测量，若不采用特定量身定制的方法，往往难以获得符号表达式，从而限制可解释性。在本工作中，我们考虑基于有理函数的神经网络架构，用于物理规律的符号表示。这些网络将有理函数的逼近能力与能够表示算术运算的灵活性相结合，概括了符号回归中用于物理法则学习的ParFam和EQL类架构。我们进一步建立了这些符号网络的正则性结果。我们的主要贡献是表明：若存在可被符号网络架构表示的可接受物理法则，则在无噪声且完全测量的极限下，符号网络会恢复一个可被该架构表示的PDE模型中的物理法则。此外，恢复的法则对应于正则化最小化的参数化，在 $L^1$ 正则化情况下，促进可解释性和稀疏性。在满足额外的identifiability条件下，可恢复唯一的真实物理法则。这些重construction和正则性结果是在连续层面上推导的，此后进行离散化处理，由于在函数空间中的表述方式。使用ParFam架构的实证结果与理论发现一致，表明在实际中可行地恢复可解释的物理法则。