Seba 台球中的超疤痕

我们考虑无理环面上带有 delta 势（“点散射体”）的拉普拉斯算子，其中边长比的平方是丢番图数。本征函数分为两类：拉普拉斯算子的“旧”本征函数（占 75%），其在 delta 势支撑处为零，因此不受影响；以及“新”本征函数（占 25%），其受影响，结果在 delta 势位置呈现对数奇点。在新本征函数的一个全密度子序列中，我们确定了弱耦合机制下的所有半经典测度，并表明它们局域化于动量空间中的 4 个波矢量上——因此我们证明了 Bogomolny 和 Schmit 预测的所谓“超疤痕”的存在。这一结果与有理环面上点散射体的新本征函数全密度子集所观察到的相空间均匀分布形成对比。此外，在强耦合极限下，我们表明对于正比例的新本征值，存在一种较弱的局域化形式；特别是量子各态历经性不成立。我们还解释了如何将我们的结果推广到内部带有点散射体且具有 Dirichlet 边界条件的矩形。在这种情况下，我们的结果扩展了 Keating、Marklof 和 Winn 之前的工作，他们证明了在拉普拉斯算子谱的非聚类条件下局域化半经典测度的存在性。