广义函数族中的超振荡序列与超平移

本文构造了一大类超振荡序列，更一般地，构造了 $\mathscr F$-超平移，其中 $\mathscr F$ 是由实参数 $\lambda\in \R$ 索引的一族光滑函数（相应地，分布、超函数）。我们为生成此类族而引入的关键模型是通过薛定谔方程 $(i\partial/\partial t - \mathscr H(x))(\psi)=0$ 的演化，其中 $\mathscr H$ 为合适的哈密顿量，特别地当 $\mathscr H(x) = -(\partial^2/\partial x^2)/2 + V(x)$ 时为合适的势 $V$。该族在此情形下为 $\mathscr F= \{(t,x) \mapsto \varphi_\lambda(t,x)\,;\, \lambda \in \R\}$，其中 $\varphi_\lambda$ 由初值 $x\mapsto e^{i\lambda x}$ 演化而来。则 $\mathscr F$-超平移将形如 $\{\sum_{j=0}^N C_j(N,a) \varphi_{1-2j/N}\}_{N\geq 1}$，其中 $a\in \R\setminus [-1,1]$，取 $C_j(N,a) =\binom{N}{j}(1+a)^{N-j}(1-a)^j/2^N$。我们证明了超平移的导数向其极限的相应导数的局部一致收敛。我们特别分析了量子谐振子情形，这迫使我们为考虑演化初值的奇异性，将函数族的超平移概念推广至超函数族的类似概念，从而超越分布的框架。