声子玻尔兹曼方程的超扩散相变

我们考虑一条由带电粒子组成的无限谐波链,其受到强度为 $B$ 的磁场作用,并受到守恒能量的随机噪声影响。在 arXiv:0809.0177 和 arXiv:1402.2988 中已证明,若 $B=0$,能量的输运由 $3/4$ 分数阶扩散描述;而在 arXiv:1808.01040 中已证明若 $B\ne 0$,其由 $5/6$ 分数阶扩散描述。在 arXiv:0809.0177 和 arXiv:1808.01040 中,作者使用了两步论证,即他们首先证明 Wigner 分布的动力学极限是声子玻尔兹曼方程的解,然后证明该解收敛到分数阶扩散方程的解,当 $B = 0$ 时指数为 $3/4$(见 arXiv:0809.0177),当 $B\ne 0$ 时指数为 $5/6$(见 arXiv:1808.01040)。在本文中,我们从声子玻尔兹曼方程量化了从一个宏观 regime 切换到另一个 regime 所需的磁场强度。我们还描述了跨越这两个不同相的过渡机制。