超快 3-控制集

图 $G = (V, E)$ 的 $t$-控制集是一个顶点子集 $S \subseteq V$，它是独立的，并满足性质：每个顶点 $v \in V$ 到 $S$ 中某个顶点的距离至多为 $t$。\textit{极大独立集 (MIS)} 是一个 1-控制集。在网络上计算 MIS 的问题是分布式算法中的一个基本问题，而该问题最快的算法是 25 多年前由 Luby (SICOMP 1986) 和 Alon 等人 (J. Algorithms 1986) 提出的 $O(\log n)$ 轮算法。此后，该问题抵御了所有产生次对数算法的努力。最近在该问题上取得了一些进展，最重要的是 Barenboim 等人 (Barenboim, Elkin, Pettie, and Schneider, 2012 年 4 月，arxiv 1202.1983；即将发表于 FOCS 2012) 提出的针对具有 $n$ 个顶点和最大度 $\Delta$ 的图的 $O(\log \Delta \cdot \sqrt{\log n})$ 轮算法。我们从不同角度处理 MIS 问题，并询问 O(1)-控制集是否能比 MIS 更高效地计算？作为对该问题的回答，我们展示了如何在 $O((\log n)^{3/4})$ 轮内计算 $n$ 顶点图的 2-控制集。我们还表明，上述结果可以针对特殊类别的图进行改进，例如高围长图、树和有界树荫图。我们的主要技术涉及随机稀疏化，该技术能迅速降低图度，同时确保每个被删除的顶点都靠近某个保留的顶点。该技术可能在其他情境中有进一步的应用，例如在设计次对数分布式逼近算法中。我们的结果引发了一个有趣的问题：鉴于 2-控制集可以在次对数轮内计算，那么 MIS（或 1-控制集）能以多快的速度计算？