分布式对称破缺的局部性

对称破缺问题是分布式计算领域研究最深入的问题之一，但关于其复杂性的最基本问题仍未解决。本文在 LOCAL 模型（其中输入图与底层分布式网络相同）中工作，研究图上四个基本对称破缺问题的随机复杂度：计算最大独立集（MIS）、最大匹配、顶点着色和支配集。我们结果的一小部分包括：一个运行时间为 $O(\log^2\Delta + 2^{O(\sqrt{\log\log n})})$ 的 MIS 算法，其中 $\Delta$ 为最大度。当 $\log n \ll \Delta \ll 2^{\sqrt{\log n}}$ 时，这是首个改进 Luby 以及 Alon、Babai 和 Itai 于 1986 年提出的算法的 MIS 算法，并接近 Kuhn、Moscibroda 和 Wattenhofer 提出的 $\Omega(\log \Delta)$ 下界。一个运行时间为 $O(\log\Delta + \log^4\log n)$ 的最大匹配算法。这是对 Israeli 和 Itai 于 1986 年提出的算法的首次显著改进。此外，其对 $\Delta$ 的依赖关系被证明是最优的。一种将低树宽/退化图上的对称破缺问题归约到低度图的方法。（粗略地说，图的树宽或退化度限制了任何子图的密度。）该归约的推论包括：针对树宽高达 $2^{\sqrt{\log n}}$ 的图的 $O(\sqrt{\log n})$ 时间最大匹配算法，以及针对树宽高达 $2^{(\log n)^{1/3}}$ 的图的 $O(\log^{2/3} n)$ 时间 MIS 算法。我们的每个算法都基于一种简单但强大的技术，即将随机对称破缺任务归约到 poly$(\log n)$ 规模图上的相应确定性任务。