超图中的分布式对称性破缺

最大独立集 (MIS) 和着色等基础局部对称性破缺问题已被社区公认为重要问题，并在（标准）图中得到了广泛研究。特别是，在 LOCAL 和 CONGEST 分布式计算模型中，针对 MIS 和 $\Delta +1$-着色的快速（即对数运行时间）随机算法已非常成熟。另一方面，关于{\em 超图}中分布式对称性破缺的复杂性知之甚少。其中一个关键问题是：超图的 MIS 是否存在快速（随机）算法。本文通过在一种自然的超图分布式计算模型下，提出针对各类基础问题的分布式随机算法，研究了超图中对称性破缺的分布式复杂性。我们首先证明，在 LOCAL 模型中，任意维度的超图 MIS 可在 $O(\log^2 n)$ 轮内解决（$n$ 为超图节点数）。随后，本文提出一个关键结果：在 CONGEST 模型中，存在一种 $O(\Delta^{\epsilon}\text{polylog}(n))$ 轮的超图 MIS 算法，其中 $\Delta$ 为超图的最大节点度，$\epsilon > 0$ 为任意小的常数。为展示超图 MIS 的实用性，我们将该超图算法应用于解决（标准）图中的问题。特别是，超图 MIS 为{\em 平衡最小支配集}问题（Harris 等人 [ICALP 2013] 遗留的开放问题）和{\em 最小连通支配集}问题提供了快速的分布式算法。我们还提出了用于超图着色、最大匹配和最大团的分布式算法。