基于稀疏化的幂图上的分布式对称性破缺

本文中，我们针对幂图上的经典对称性破缺问题——最大独立集（MIS）和统治集（ruling sets）——给出高效的分布式算法。我们在标准的 CONGEST 分布式消息传递模型下工作，其中通信网络被抽象为图 $G$。通常，CONGEST 中的问题实例与通信网络 $G$ 相同，即我们在 $G$ 中执行对称性破缺。本工作中，我们考虑问题实例对应于幂图 $G^k$ 的设置，其中通信网络 $G$ 的每个节点与其所有 $k$ 跳邻居相连。我们的主要贡献是针对 $G^k$ 计算 $k$-统治集的确定性多对数时间算法，该算法（对 $k>1$）相比当前最先进运行时间有指数级提升。该结果的主要技术要素是一个确定性的稀疏化过程，其本身可能具有独立意义。除了作为一类自然的问题族，统治集（在幂图中）还通过其在强大的 shattered 框架 [BEPS JACM'16, Ghaffari SODA'19]（及其他）中的应用而具有充分动机。我们给出了在 $G^k$ 上计算最大独立集和统治集的随机算法，其时间与在 $G$ 中计算它们基本相同的。我们也重新审视了针对 MIS 的 shattered 算法 [BEPS JACM'16] 并给出了后 shattered 阶段的不同方法。我们的解在算法和分析上（在 LOCAL 模型中也）比现有解更简单，并获得了与 [Ghaffari SODA'16] 相同的运行时间。