无需 Fanout 的常数深度超常重量 Dicke 态

重量为 $k$ 的 $n$ 比特 Dicke 态，是所有 Hamming 权重为 $k$ 的 $n$ 比特二进制字符串的均匀叠加。Dicke 态是一种纠缠资源，在 NISQ 时代具有重要实际应用，例如在解码量子干涉 (DQI) 中发挥核心作用。此外，任何对称态都可以表示为 Dicke 态的叠加。首先，我们给出使用仅多比特 Toffoli 门和单比特酉门即可准备 $n$ 比特 Dicke 态的显式常数深度电路，适用于所有 $k \leq \text{polylog}(n)$。这给出了第一个 $\text{QAC}^0$ 构造的超常重量 Dicke 态。以往的任何超常重量 $k$ 的常数深度构造都需要 FANOUT$_n$ 门，而 $\text{QAC}^0$ 仅已知实现 FANOUT$_k$ 对于 $k$ 至多为 $\text{polylog}(n)$。此外，我们表明任何重量-$k$ 的 Dicke 态都可以使用 FANOUT$_{\min(k,n-k)}$ 而非 FANOUT$_n$ 构造。结合最近的硬度结果，这给出了紧致的特征化：对于 $k \leq n/2$，重量-$k$ 的 Dicke 态可在 $\text{QAC}^0$ 中构造当且仅当 FANOUT$_k \in \text{QAC}^0$。我们进一步扩展我们的技术，表明实际上，任何 $n$ 比特 Dicke 态的任意叠加，都可在 $\text{QAC}^0$ 中使用 FANOUT$_k$ 构造。取 $k = n$，我们获得了任意对称态的第一个 $O(1)$ 深度酉构造。特别是，任何对称态都可以在支持 FANOUT$_n$ 的量子硬件架构上（例如具有原生全局纠缠操作的离子阱）在常数深度内构造。