利用对数深度量子线路制备保持汉明权重的量子态

量子态制备是量子计算中的一项关键任务，尤其在量子机器学习、哈密顿量模拟和量子算法设计等领域。最一般量子态的制备线路深度已被优化至接近最优，但对数深度仅在辅助量子比特数量达到指数级时才会出现。实际上，即使是针对某种非均匀态，也很少有由多项式辅助量子比特辅助的对数深度制备算法被提出。我们关注保持汉明权重的量子态，定义为$|\psi_{\text{H}}\rangle = \sum_{\text{HW}(x)=k} \alpha_x |x\rangle$，这类态已在量子机器学习中发挥了其优势。特别地，当$k=2$时，此类保持汉明权重的态对应于简单无向图，并被称为图结构态。首先，对于具有$m$条边的$n$量子比特一般图结构态，我们提出了一种算法，以$O(m)$个辅助量子比特构建深度为$O(\log n)$的制备线路。具体针对$n$量子比特的树状和网格状结构态，相应制备线路中的辅助量子比特数可优化至零。接着，我们转向$k\geq 3$的保持汉明权重态的制备，该问题可在$O(\log{{n \choose k}})$深度下使用$O\left({n \choose k}\right)$个辅助量子比特解决，同时线路大小保持为$O\big( {n \choose k} \big)$。对于任意$k \geq 2$，这些深度和大小的复杂度恰好与我们最后证明的下界$\Omega (\log{{n \choose k}})$深度和$\Omega ({n \choose k})$大小相吻合，这证实了我们算法的近最优效率。