基于 Walsh 级数的高效量子态制备

引入一种称为 Walsh 级数加载器（WSL）的新型近似量子态制备（QSP）方法。WSL 以与量子比特数 $n$ 无关的深度近似由单实变量实值函数定义的量子态。提出两种方法：第一种以截断于阶 $O(1/\sqrt{\epsilon})$ 的 Walsh 级数近似目标量子态，其中 $\epsilon$ 为以非保真度表示的近似精度。电路深度亦为 $O(1/\sqrt{\epsilon})$，规模为 $O(n+1/\sqrt{\epsilon})$，且仅需一个辅助量子比特。第二种方法精确表示具有稀疏 Walsh 级数的量子态。WSL 将 $s$-稀疏 Walsh 级数载入 $n$ 量子比特，深度在 $s$ 与 $k$ 上双稀疏，$k$ 为 Walsh 函数索引的二进制分解中值为 $1$ 的最大位数。相关量子电路以误差 $\epsilon$ 近似稀疏 Walsh 级数，深度 $O(sk)$，规模 $O(n+sk)$，且有一个辅助量子比特。两种情况下，协议均为重复直至成功（RUS）过程，成功概率 $P=\Theta(\epsilon)$，给出 WSL 平均总时长 $O(1/\epsilon^{3/2})$（稀疏 WSL 相应为 $O(sk/\epsilon)$）。振幅放大可用于将总时长对 $\epsilon$ 的依赖降低因子 $O(1/\sqrt{\epsilon})$，但增大相关量子电路的规模与深度，使其随 $n$ 线性依赖。这些协议给出整体高效算法，在任何参数上均无指数缩放。它们可推广至任意复值、多变量、几乎处处可微函数。重复直至成功 Walsh 级数加载器迄今是唯一以与量子比特数无关电路深度和平均总时长制备量子态的方法。