最优（受控）量子态制备及基于任意数目辅助量子比特量子电路的改进酉合成

作为许多量子线性代数和量子机器学习算法的基石，受控量子态制备（CQSP）旨在对给定 n 量子比特态 $|\psi_i\rangle$ 实现对所有 $i\in \{0,1\}^k$ 的变换 $|i\rangle |0^n\rangle \to |i\rangle |\psi_i\rangle$。在本文中，我们构造了一个实现 CQSP 的量子电路，对于任意给定数目的辅助量子比特数 $m$，其深度为 $O\left(n+k+\frac{2^{n+k}}{n+k+m}\right)$，规模为 $O\left(2^{n+k}\right)$。这些界也可视为该变换的时间—空间权衡，且对任意整数参数 $m,k\ge 0$ 和 $n\ge 1$ 均为最优。当 $k=0$ 时，该问题成为带辅助量子比特的经典量子态制备（QSP）问题，其要求高效实现变换 $|0^n\rangle|0^m\rangle \to |\psi\rangle |0^m\rangle$。该问题有许多应用并已被广泛研究，但其电路复杂度仍属开放问题。我们的构造完全解决了该问题，将任意 $m$ 下的深度复杂度确定为 $\Theta(n+2^{n}/(n+m))$，规模复杂度确定为 $\Theta(2^{n})$。另一个基本问题，酉合成，要求用量子电路实现一个一般的 n 量子比特酉。先前工作给出了对于 $m=\Omega(2^n/n)$ 个辅助量子比特的下界 $\Omega(n+4^n/(n+m))$ 和上界 $O(n2^n)$。在本文中，我们通过提出深度为 $O\left(n2^{n/2}+\frac{n^{1/2}2^{3n/2}}{m^{1/2}}\right)$ 的量子电路，将这一差距平方级缩小。