正则多面体的弦长平方之和与积

尽管先前研究已发现关于正则多面体弦长的若干事实，但这些研究均未考量其中是否有任何事实定义了可推广至所有正则多面体弦长的关系。因此，本文探究先前研究的四项发现——即关于单位圆内接正多边形弦长平方之和与积的四个事实——能否推广至所有正则（$n$ 维）多面体（内接于单位 $n$-球）。我们表明：(a) 这四个事实之一确实推广至所有正则多面体（维数 $n \geq 2$）；(b) 其一推广至除大多数单形外的所有正则多面体；(c) 其一仅推广至交叉多面体族；(d) 其一仅推广至交叉多面体与 24-胞腔。我们还沿途中发现了若干推论（由互反性得出）以及专属于三维正则多面体的若干定理。