有限域上的子空间轮廓与对称函数的 q-Whittaker 展开
组合数学
2026-05-26 v3
摘要
Bender、Coley、Robbins 与 Rumsey 提出了一个计数问题：在有限向量空间上定义的线性自同态中，具有给定轮廓的子空间有多少个。该问题的若干特例已在文献中得到解决。我们通过给出关于对称函数的显式计数公式，在完全一般性下解决了此问题。该公式可借助涉及对偶 q-Whittaker 函数与另一由该线性自同态的共轭类不变量所确定的对称函数的 Hall 标量积紧凑表达。作为推论，我们获得了若干对称函数的 q-Whittaker 展开中系数的新组合解释。这些对称函数包括幂和、完全齐次函数、变形 Hall-Littlewood 多项式的乘积以及某些 q-Whittaker 函数的乘积。这些结果被用于推导关于任意算子的反不变子空间（由 Barría 与 Halmos 定义）个数的公式。我们还给出了其在 Krylov 子空间理论中的一个公开问题上的应用。
引用
@article{arxiv.2309.16607,
title = {Subspace Profiles over Finite Fields and $q$-Whittaker Expansions of Symmetric Functions},
author = {Samrith Ram},
journal= {arXiv preprint arXiv:2309.16607},
year = {2026}
}
备注
27 pages, several corrections and minor changes, added some references and a new section with recent developments